机器学习的数学 之 python 矩阵运算

1. 什么是矩阵

3. 矩阵表示

4. 矩阵运算

5. 理解矩阵乘法

一个 m × n 的矩阵是一个由 m 行 n 列元素排列成的矩形阵列。以下是一个由 6 个数字元素构成的 2 行 3 列的矩阵：

矩阵属于线性代数数学分支。线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。表面上，排成矩形的数字就是个矩阵。实际，矩阵是有限维线性空间的线性变换的表示形式。它代表着空间到空间的映射。

在程序中，配合矩阵模拟真实数据，并可以实现如下功能：二维图形变换、人脸变换、人脸识别、信息转换等。比如一张图片，简单的黑白图只有黑色和白色构成，是不是可以有 1 0 两个数值的二维矩阵来表示呢？自然，尤其在图像处理里面，图像信息是用二维矩阵数据。

矩阵分析，是一种方便的计算工具，可以以简单的形式表达复杂的信息。

我们选择 Python 作为代码演示案例。利用的是 NumPy 库。什么是 NumPy？

NumPy 是一个基础科学的计算包，包含：

• 一个强大的N维数组对象
• sophisticated (broadcasting) functions
• tools for integrating C/C++ and Fortran code
• 有用的线性代数、傅立叶转换和随机数生成函数

在代码中，导入 numpy 函数。

比如下面展示 1 × 2 和 2 × 2 的矩阵。调用 shape 方法，可获取矩阵的大小。同样，numpy 方便了我们很多操作。可以直接创建全 0 矩阵、全 1 矩阵和单元矩阵。代码 matrix_exp.py 如下：

# -*- coding: utf-8 -*-

# 导入 numpy 函数，以 np 开头
import numpy as np

if __name__ == '__main__':
    mat1 = np.array([1, 3])
    mat1 = np.mat(mat1)  # 相当于 np.mat([1,3])， mat 函数将目标数据的类型转换为矩阵（matrix）
    print mat1
    # 1 行 2 列的矩阵（也称 1 * 2 矩阵）
    # ==> [[1 3]]

    print

    mat2 = np.array([[1, 3], [3, 4]])
    mat2 = np.mat(mat2)
    print mat2
    # 2 * 2 矩阵
    # ==> [[1 3]
    # ==>  [3 4]]

    # 获取矩阵的大小
    print mat1.shape
    print mat2.shape

    print

    mat3 = np.zeros((2, 3))  # 2 * 3 的全 0 矩阵
    mat4 = np.ones((3, 2))   # 3 * 2 的全 1 矩阵
    mat5 = np.identity(3)    # 3 * 3 的单元矩阵
    mat6 = np.eye(3, 3, 0)   # eye(N, M=None, k=0, dtype=float) 对角线是 1 其余值为 0 的矩阵, k 指定对角线的位置
    print mat3
    print mat4
    print mat5
    print mat6

右键，Run 可得到下面结果：

[[1 3]]

[[1 3]
 [3 4]]
(1, 2)
(2, 2)

[[ 0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.]]
[[ 1.  1.]
 [ 1.  1.]
 [ 1.  1.]]
[[ 1.  0.  0.]
 [ 0.  1.  0.]
 [ 0.  0.  1.]]
[[ 1.  0.  0.]
 [ 0.  1.  0.]
 [ 0.  0.  1.]]

如上注解详细解释了方法的使用。

「提示」代码共享在 GitHub：https://github.com/JeffLi1993/robot-mumu

矩阵运算包括了加减乘除、转置、逆矩阵、行列式、矩阵的幂、伴随矩阵等。

矩阵加法、减法、数量乘法规则如下：（和向量的运算规则一样）

比如下面展示下 矩阵与矩阵相乘、矩阵求逆、转置矩阵及每行或每列求和的运算。代码 matrix_op.py 如下：

# -*- coding: utf-8 -*-

# 导入 numpy 函数，以 np 开头
import numpy as np

if __name__ == '__main__':
    # 矩阵相乘
    mat1 = np.mat([1, 3])
    mat2 = np.mat([[3], [4]])
    mat3 = mat1 * mat2
    print mat3
    # 1 * 2 矩阵乘以 2 * 1 矩阵，得到 1 * 1 矩阵
    # ==> [[15]]

    print

    # 矩阵求逆
    mat4 = np.mat([[1, 0, 1], [0, 2, 1], [1, 1, 1]])
    mat5 = mat4.I  # I 对应 getI(self) ，返回可逆矩阵的逆
    print mat5
    # 矩阵的逆
    # ==> [[-1. -1.  2.]
    # ==>  [-1.  0.  1.]
    # ==>  [ 2.  1. -2.]]

    print

    # 转置矩阵
    mat6 = np.mat([[1, 1, 1], [0, 2, 1], [1, 1, 1]])
    mat7 = mat6.T  # I 对应 getT(self) ，返回矩阵的转置矩阵
    print mat7
    # 矩阵的转置矩阵
    # ==> [[1 0 1]
    # ==>  [1 2 1]
    # ==>  [1 1 1]]

    print

    # 矩阵每一列的和
    sum1 = mat6.sum(axis=0)
    print sum1
    # 矩阵每一行的和
    sum2 = mat6.sum(axis=1)
    print sum2
    # 矩阵所有行列的总和
    sum3 = sum(mat6[1, :])
    print sum3

    print

    # 矩阵与数组之间的转换
    mat8 = np.mat([[1, 2, 3]])
    arr1 = np.array(mat8)  # 矩阵转换成数组
    print arr1
    arr2 = [1, 2, 3]
    mat9 = np.mat(arr2)  # 数组转换成矩阵
    print mat9

右键，Run 可得到下面结果：

[[15]]

[[-1. -1.  2.]
 [-1.  0.  1.]
 [ 2.  1. -2.]]

[[1 0 1]
 [1 2 1]
 [1 1 1]]

[[2 4 3]]
[[3]
 [3]
 [3]]
[[0 2 1]]

[[1 2 3]]
[[1 2 3]]